Trong toán học ,7 hằng đẳng thức đáng nhớ là những đẳng thức cơ bản nhất mà mỗi người học toán cần phải nắm vững. 7 đẳng thức được chứng minh bằng phép nhân đa thức với đa thức. Những đẳng thức này được sử dụng thường xuyên trong các bài toán liên quan đến giải phương trình, nhân chia các đa thức và biến đổi biểu thức tại cấp học trung học cơ sở, trung học phổ thông. Học thuộc 7 hằng đẳng thức đáng nhớ giúp giải nhanh những bài toán phân tích đa thức thành nhân tử.
I. 7 hằng đẳng thức đáng nhớ lớp 8
Trong chương trình học các em đã được làm quen với nhiều công thức toán học trong đó 7 hằng đẳng thức đáng nhớ lớp 8 vô cùng quan trọng theo em trong suốt quá trình học từ Trung học cơ sở lên Đại học do vậy cần nắm vững lý thuyết cũng như vận dụng vào làm bài tập.
1. 7 hằng đẳng thức đáng nhớ lớp 8
1. Bình phương của một tổng được viết:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
2. Bình phương của một hiệu được viết:
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
3. Hiệu hai bình phương được viết:
a2 – b2 = (a – b)(a + b)
4. Lập phương của một tổng được viết:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
5. Lập phương của một hiệu được viết:
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
6. Tổng hai lập phương được viết:
a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) = (a + b)3 – 3a2b – 3ab2 = (a + b)3 – 3ab(a + b)
7. Hiệu hai lập phương được viết:
a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) = (a – b)3 + 3a2b – 3ab2 = (a – b)3 + 3ab(a – b)
2. Các hệ thức liên quan đến 7 hằng đẳng thức đáng nhớ
Các hệ thức liên quan được viết:
1. (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a)
2. a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca)
3. (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca
4. (a – b – c)2 = a2 + b2 + c2 – 2ab + 2bc – 2ca
5. (a + b – c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab – 2bc – 2ca
II. Dạng toán ứng dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ và phương pháp giải
Dạng 1 : Tính giá trị của biểu thức cho trước:
Bài 1 : Tính giá trị của biểu thức sau:
A = x2 – 4x + 4 tại x = -1
Ta có : A = x2 – 4x + 4 = A = x2 – 2.x.2 + 22 = (x – 2)2
Tại x = -1 : A = ((-1) – 2)2=(-3)2= 9
Vậy : A(-1) = 9
Dạng 2 : Chứng minh giá trị biểu thức B không phụ thuộc vào biến x:
B = (x – 1)2 + (x + 1)(3 – x)
LỜI GIẢI.
B =(x – 1)2 + (x + 1)(3 – x)
= x2 – 2x + 1 – x2 + 3x + 3 – x
= 4 : là hằng số không phụ thuộc vào biến x.
Dạng 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
C = x2 – 2x + 5
GIẢI.
Ta có : C = x2 – 2x + 5 = (x2 – 2x + 1) + 4 = (x – 1)2 + 4
Mà : (x – 1)2 ≥ 0 với mọi x.
=> (x – 1)2 + 4 ≥ 4 hay C ≥ 4
Dấu “=” xảy ra khi : x – 1 = 0 <=> x = 1
Nên vì vậy : Cmin = 4 khi x = 1
Dạng 4 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức D:
D = 4x – x2
LỜI GIẢI.
Ta có : D = 4x – x2 = 4 – 4 + 4x – x2 = 4 – (4 + x2 – 4x) = 4 – (x – 2)2
Mà ta có: -(x – 2)2 ≤ 0 với mọi x.
Suy ra : 4 – (x – 2)2 ≤ 4 hay D ≤ 4
Dấu “=” xảy ra khi : x – 2 = 0 <=> x = 2
Nên giá trị lớn nhất của D: Dmax = 4 khi x = 2.
Dạng 5 :Chứng minh đẳng thức :
(a + b)3 – (a – b)3 = 2b(3a2 + b2)
LỜI GIẢI.
VT = (a + b)3 – (a – b)3
= (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) – (a3 – 3a2b + 3ab2 – b3)
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – a3 + 3a2b – 3ab2 + b3
= 6a2b + 2b3
= 2b(3a2 + b2) =>đpcm.
=> (a + b)3 – (a – b)3 = 2b(3a2 + b2)
Dang 7 : Phân tích các đa thức thành nhân tử :
F = x2 – 4x + 4 – y2
Lời Giải.
Ta có : F = x2 – 4x + 4 – y2
= (x2 – 4x + 4) – y2 [nhóm các hạng tử]
= (x – 2)2 – y2 [hằng đẳng thức số 2]
= (x – 2 – y )( x – 2 + y) [ hằng đẳng thức số 3]
=> F = (x – 2 – y )( x – 2 + y)
Bài số 1 :
A = x3 – 4×2 + 4x
= x.(x2 – 4x + 4)
= x.(x2 – 2.2x + 22)
= x(x – 2)2
Bài 2 :
B = x2 – 2xy – x + 2y
= (x2– x) + (2y – 2xy)
= x.(x – 1) – 2y.(x – 1)
= (x – 1)(x – 2y)
Bài số 3 :
C = x2 – 5x + 6
= x2 – 2x – 3x + 6
= x(x – 2) – 3(x – 2)
= (x – 2)(x – 3)
Dạng 8 : Tìm x, biết : x2.( x – 3 ) – 4x + 12 = 0
Lời Giải.
x2 ( x – 3 ) – 4x + 12 = 0
<=> x2 ( x – 3 ) – 4(x – 3 ) = 0
<=>( x – 3 ) (x2 – 4) = 0
<=>( x – 3 ) (x – 2)(x + 2) = 0
<=>( x – 3 ) = 0 hay (x – 2) = 0 hay (x + 2) = 0
<=> x = 3 hay x = 2 hay x = –2
vậy : x = 3; x = 2; x = –2
Bài tập 1 : Tìm x:
2×2 – 5x = 0
<=>2x(x – 5) = 0
<=>2x = 0 hoặc x – 5 = 0
<=>x = 0 hoặc x = 5
x3 – 5×2 + 6x = 0
<=> x(x2 – 5x + 6) = 0
<=> x(x – 2)(x – 3) = 0
<=> x = 0 hay x – 2 = 0 hay x – 3 = 0
<=> x = 0 hay x = 2 hay x = 3
Dạng 9 : Chứng minh bất đẳng thức trong toán thi vào lớp 10
Bài toán 1 : Chứng minh bất đẳng thức sau:
a2/4+ b2 ≥ ab
Lời Giải.
Xét :VT – VP = a2/4+ b2 – ab = (a/2)2 – 2ba/2 + b2 = (a – b) 2
Ta luôn có : (a – b)2 ≥ 0 với mọi giá trị a,b thuộc R
Suy ra : VT – VP ≥ 0
Vậy : a2/4+ b2 ≥ ab
Bài toán 2 : Chứng minh bất đẳng thức sau:
a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ac với mọi a, b,c thuộc R
Lời Giải.
Xét :VT – VP = a2 + b2 + c2 – ab – bc – ac
2(VT – VP) = 2(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ac)
= (a2 – 2ab + b2) + (a2 – 2ac + c2) + (b2 – 2bc + c2)
= (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2
Ta luôn có rằng : (a – b)2 ≥ 0 với mọi a,b thuộc R
(a – c)2 ≥ 0 với mọi giá trị a,c thuộc R
(b – c)2 ≥ 0 với mọi giá trị b,c thuộc R
Suy ra : (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2 ≥ 0 với mọi a, b,c thuộc R
Hay : VT – VP = a2 + b2 + c2 – ab – bc – ac ≥ 0 với mọi a, b,c thuộc R
Vậy : a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ac
Bài toán 3 : Chứng minh bất đẳng thức sau
a4 + b4 ≥ a3b + ab3
Lời Giải.
Xét :VT – VP = a4 + b4 – a3b – ab3
= (a4 – a3b) + (b4– ab3)
= a3(a – b) – b3(a – b)
= (a – b) (a3– b3)
= (a – b) 2 (a2+ ab + b2) = (a – b) 2 [(a+b/2)2 + 3b2/4)]
Ta luôn có rằng : (a – b)2 ≥ 0 với mọi giá trị a,b thuộc R
(a+b/2)2 + 3b2/4) ≥ 0 với mọi giá trị a,b thuộc R
Suy ra : VT – VP ≥ 0
Vậy ta có: a4 + b4 ≥ a3b + ab3
Trên đây là 7 hằng đẳng thức đáng nhớ kèm bài tập lời giải chi tiết các dạng toán thường gặp TKBOOKS mong rằng sẽ hữu ích tới tất cả các em học sinh. TKBOOKS sẽ luôn cập nhật các bài toán hot nhất để các em học sinh có thể tham khảo.
